Activité – Somme d'une suite géométriques
Un homme souhaite creuser un puit dans son jardin. Le premier jour, il atteind une profondeur de 1m. Le sol est de
plus en plus dur et l'évacuation de la terre plus difficile. Il constate que le deuxième jour il ne creuse que les 4/5
de la profondeur creusée la veille et fait la même remarque le lendemain.
Avant de continuer le travail, l'homme décide de se poser et de réfléchir pour être bien sûr qu'il va atteindre son objectif : il sait, d'après son voisin qui a un puit, que l'eau se situe à 4,6m de profondeur.
En considérant que chaque jour, il peut creuser les 4/5 de la veille, l'homme se demande si il atteindra les 4,6m et au bout de combien de jours.
Avant de continuer le travail, l'homme décide de se poser et de réfléchir pour être bien sûr qu'il va atteindre son objectif : il sait, d'après son voisin qui a un puit, que l'eau se situe à 4,6m de profondeur.
En considérant que chaque jour, il peut creuser les 4/5 de la veille, l'homme se demande si il atteindra les 4,6m et au bout de combien de jours.
AOn note \(u_n\) la profondeur creusée le \(n\)-ème jour.
1
Donner les valeurs de \(u_1, u_2, u_3\).
2
Reconnaître de quel type de suite il s'agit et donner une formule de récurrence.
3
Exprimer explicitement \(u_n\)en fonction de n.
BOn appelle \(P_n\) la profondeur atteinte le \(n\)-ième jour.
1
Donnez les valeurs de \(P_1, P_2, P_3\)
2
Justifiez que \(P_n = 0.8 + 0.8^2 + ... + 0.8^{n-1}\)
COn veut trouver une formule explicite pour \(P_n\) afin de calculer plus simplement.
1
La formule pour exprimer \(P_n\) est donnée à la question précédente : développer \(0.8 P_n\)
2
Simplifier \(P_n - 1 + 0.8^n\).
3
En déduire que \(0.8 P_n = P_n - 1 + 0.8^n\).
4
En résolvant l'équation \(0.8 x = x - 1 + 0.8^n\) d'inconnue \(x\) , montrer que \(P_n = \frac{1 - 0.8^n}{1 - 0.8}\)
DOn va tâcher de répondre à la question initiale.
1
Déterminer à 0,1 près la profondeur atteinte après 5 jours, 7 jours, puis 10 jours.
2
L'eau va-t-elle apparaître au fond du puit ? Si oui, au bout de combien de jours ?
3
Faire une conjecture sur la profondeur maximale que l'homme peut atteindre.